Глава 3. Векторное представление событий.

Теперь воспользуемся свойствами эрмитовых матриц, чтоб научиться оперировать событиями.

Например, из линейной алгебры известно, что любую Эрмитову матрицу 2Х2 можно разложить по базису из четырех единичных и взаимно-ортогональных матриц. Такое разложение называется спинорным представлением Эрмитовых матриц.

Базисные элементы, при спинорном разложении известны как матрицы Паули и выглядят следующим образом:

$\sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\qquad 3.1.$

Определители этих матриц нормированы на  единицу, а их произведения между собой равны нулю. Поэтому данный базис называют единичным и ортогональным.                                                                                                    

Разложение произвольной Эрмитовой матрицы по такому базису выглядит следующим образом:

$(A)=a_{0}\sigma _{0}+a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}+a_{3}\sigma _{3}\qquad \qquad 3.2.$

$|A|=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$

У трех спинорных матриц определители равны -1, а у четвертой определитель равен единице. Поэтому матрицы Паули часто рассматривают как  базис псевдоэвклидова четырехмерного  пространства. Метрика такого пространства совпадает с пространством Минковского, которое играет ключевую роль в построении Теории относительности.

Из выражения 3.2. видно, что Эрмитова матрица определяющая вероятность события имеет однозначное соответствие с четырехмерным комплексным вектором.

$(A)\equiv {\overrightarrow {A}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 3.3.$

Вероятность события А, при этом будет равна квадрату модуля четырехмерного вектора.

$P(A)=|{\overrightarrow {A}}|\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 3.4.$

Таким образом, мы можем рассматривать элементарные события, как точки псевдоэвклидова четырехмерного пространства. Следует отметить, что аналогичное представление используется в Специальной теории относительности, где под событиями подразумевают точки пространства Минковского. Такое совпадение, позволяет сделать вывод, что привычное нам пространство-время необязательно постулировать, а можно вывести исходя из свойств элементарных событий.

Следующим шагом, мы постараемся выполнить данную задачу.